martes, 29 de agosto de 2017

TREN DELS LLACS DESDE LLEIDA




El primer fin de semana de julio fuimos a Lleida para subir al Tren dels Llacs y para visitar la Seu Vella. Así pues este fue nuestro planning del fin de semana:


Sábado 1 de julio

  • Tren dels Llacs
  • La Pobla de Segur

Domingo 2 de julio


  • Seu Vella de Lleida

Tren dels Llacs


El tren

Locomotora del Tren dels Llacs
Locomotora diesel del Tren dels Llacs en la estación de Lleida-Pirineus



Modelo de la locomotora del Tren dels Llacs
Modelo de la locomotora del Tren dels Llacs


Coche de epoca del Tren dels Llacs

Pasillo de uno de los coches de época del Tren dels Llacs



Las características principales del tren de época en las que hice el recorrido son:

  • Locomotora diesel
  • Furgón postal
  • Coche cafetería
  • 4 coches para pasajeros con pasillo a un lado y compartimentos para 8 personas al otro.


Recorrido y los lagos



El tren sale de la estación Lleida-Pirineus a las 10:40 y llega a la Pobla de Segur alrededor de las 12:30 tras una parada. Para amenizar el trayecto de ida  dos actores de una compañía de teatro hacen de revisores o acomodadores algo peculiares y vestidos de época. También durante la ida se obsequia a los pasajeros con un paquete de galletas típicas del territorio.

El precio del billete de ida y vuelta es de 30 Euros y existe la posibilidad de realizar la vuelta al día siguiente en un tren regular y así pasar un fin de semana en La Pobla. Puede valer la pena porque la vuelta es volver a ver un poco lo mismo. La única diferencia es que a la vuelta el tren para en Balaguer para ofrecer a los pasajeros  coca de recapte y vino de la zona.


Estos son los puntos más destacados del recorrido del Tren dels Llacs desde Lleida hasta la Pobla de Segur:

  • Salida desde la estación Lleida-Pirineus
  • Balaguer
  • Lago de Sant Llorenç de Montgai
  • Túnel de Palau
  • Embalse de Camarasa
  • Viaducto de Santa Linya
  • Embalse de Terradets
  • Embalse de Sant Antoni
  • La Pobla de Segur



Estación Lleida-Pirineus



Estacion de Lleida-Pirineus

Estación de Lleida-Pirineus donde comienza el recorrido del Tren dels Llacs




Balaguer



Paisaje entre Lleida y Balaguer

Paisaje típico de la zona entre Lleida y Balaguer



Iglesia de Balaguer

Iglesia de Balaguer



Lago de Sant Llorenç de Montgai


Lago de Sant Llorenç de Montgai
El primer lago del recorrido es el de Sant Llorenç de Montgai


Embalse de Camarasa


Pantano de Camarasa desde el Tren dels Llacs
Pantano de Camarasa desde el tren dels Llacs





Embalse de Camarasa
Al final ya se ve donde termina el embalse de Camarasa


Viaducto de Santa Linya




Viaducto de Santa Linya
Tren dels Llacs pasando por el viaducto de Santa Linya





Viaducto de Santa Linya
Pasando por el  viaducto de Santa Linya mirando en dirección Lleida





Baronia de Sant Oisme
En esta pequeña colina se encuentra la Baronia de Sant Öisme, que pertenece al municipio de Camarasa


Castillo de Sant Oisme
Castillo de Sant Öisme en Camarasa desde el Tren dels Llacs



Embalse de Terradets




Embalse de Terradets
En lo alto de esta colina junto al embalse de Terradets se encuentra el pueblo de Llimiana



Estacion de Cellers-Llimiana
El Tren dels Llacs pasando por la estación de Cellers-Llimiana


Talarn
Pueblo de Talarn cerca del recorrido del Tren dels Llacs



Embalse de Sant Antoni



Embalse de Sant Antoni
El embalse de Sant Antoni es la reserva de agua dulce más grande de Catalunya




La Pobla de Segur


Esta población del prepirineo catalán es el punto de entrada a dos valles: la Vall de Boí y la Vall Fosca, además de estar junto al embalse más grande de Catalunya.




Locomotora del Tren dels Llacs
Locomotora del Tren dels Llacs en la Pobla de Segur poco después de llegar de Lleida



Iglesia de la Pobla de Segur
Iglesia de la Pobla de Segur




Casco antiguo de la Pobla de Segur
Calle del casco antiguo de la Pobla de Segur



Rio en la Pobla de Segur
Río que pasa por la Pobla de Segur




Espai Raier en la Pobla de Segur
Espai Raier en la Pobla de Segur


Casa Mauri en la Pobla de Segur
Casa Mauri en la Pobla de Segur



Seu Vella de Lleida


El domingo por la mañana, antes de volver a Barcelona, fuimos a visitar la Seu Vella de Lleida y el Castillo del Rey situados en una colina junto al río Segre desde la que se divisa toda la plana de Lleida. Hacia el norte se ven las cumbres del Pirineo aragonés como el Aneto o el prepirineo catalán incluso sin subir al campanario. 


Seu Vella de Lleida y Castell del Rei
Seu Vella de Lleida y Castell del Rei 


Seu Vella de Lleida
Esquema de la Seu Vella de Lleida con los principales elementos del conjunto



Seu Vella y Castillo del Rey
Puente de acceso al conjunto de la Seu Vella y castillo del rey o Suda





Campanario de la Seu Vella de Lleida
Campanario de la Seu Vella de Lleida



Seu Vella de Lleida
Puerta principal de acceso al claustro de la Seu Vella



Claustro de la Seu Vella
Arcos góticos de la Seu Vella de Lleida




Claustro de la Seu Vella de Lleida
Detalle de un arco de estilo gótico desde el interior del claustro de la Seu Vella



Iglesia de la Seu Vella de Lleida
Nave principal de la Iglesia de la Seu Vella de Lleida


Crucero de la Iglesia de la Seu Vella de Lleida
Crucero de la Iglesia de la Seu Vella de Lleida




Boveda de cruceria de la Seu Vella de Lleida
Bóveda de crucería de la iglesia de la Seu Vella de Lleida


Pinturas románicas en la Seu Vella de Lleida
Pinturas románicas en la iglesia de la Seu Vella de Lleida


Iglesia de la Seu Vella
Iglesia de la Seu Vella desde lo alto del campanario. El claustro se construyó delante por problemas de espacio



Castillo del Rey
Castillo del Rey junto a la Seu Vella de Lleida



Castillo del Rey o Suda en la Seu Vella de Lleida
Sala interior del Castillo del Rey o Suda en la Seu Vella de Lleida



Parc del Segre



Parc del Segre
Parc del Segre y parte de la muralla desde el campanario de la Seu Vella mirando hacia el oeste aproximadamente



Otros lugares interesantes para visitar en la provincia de Lleida serían:







sábado, 12 de agosto de 2017

ELECTRODINÁMICA CUÁNTICA


El libro Electrodinámica Cuántica es una recopilación de cuatro conferencias que realizó Richard Feynman sobre esta teoría. Estas conferencias son:

1. Introducción
2. Fotones: Partículas de luz
3. Los electrones y sus interacciones
4. Cabos sueltos




Electrodinamica Cuantica de Richard Feynman

Portada del libro: "Electrodinámica Cuántica", escrito por el genial físico norteamericano Richard Feynman


1. Introducción




La Electrodinámica Cuántica es la teoría cuántica de la interacción de la luz y la materia, desarrollada en 1929 con la finalidad de modificar la Teoría de Maxwell del electromagnetismo de acuerdo a los nuevos principios de la Mecánica Cuántica como el Principio de Incertidumbre (Heisenberg, 1926).


Ecuaciones de Maxwell
Las Ecuaciones de Maxwell son modificadas ligeramente por la Electrodinámica Cuántica para incorporar efectos sutiles


Principio de Incertidumbre de Heisenberg
Principio de Incertidumbre de Heisenberg donde p representa el momento y q la posición




Esta nueva teoría, llamada QED por sus siglas en inglés, en un primer momento tenía problemas al realizar predicciones precisas obteniéndose valores infinitos.

En 1929, Paul Dirac aplico la  Teoría de la Relatividad Especial para obtener una teoría relativista del electrón. Sin embargo, esta teoría no consideraba todos los efectos de la interacción de la luz y los electrones, con lo que sus predicciones no eran del todo correctas (por ejemplo predecía un momento magnético del electrón de 1 por 1,00118 medido en 1948). Lo peor era que cuando se calculaba esta magnitud con la QED se obtenía infinito.



Ecuacion de Dirac
Ecuación de Dirac


Esto fue solucionado con la renormalización en 1949 por Feynman, Schwinger y Tomonaga. Actualmente la QED es la teoría más exitosa de la física con un grado de precisión en sus predicciones asombroso y queda definida completamente por la siguiente lagrangiana.



Lagrangiana de la Electrodinamica Cuantica


Lagrangiana de la Electrodinámica Cuántica, la teoría que describe como interacciona la luz con la materia. M es la masa del electrón, A es el potencial vector del electromagnetismo y F es el tensor electromagnético. Los dos primeros corresponden a la ecuación de Dirac, el tercero es el de interacción entre el electrón y el fotón (consecuencia de la simetría gauge) y el cuarto es el de la propagación del fotón en ausencia de fuentes (onda electromagnética)


A partir del principio de mínima acción pueden obtenerse de esta lagrangiana las ecuaciones que gobiernan la propagación de la luz y su interacción con la materia.



La Luz


Newton descubrió que la luz blanca podía descomponerse en luces de varios colores puros en el sentido de que no pueden descomponerse más.



Descomposicion de la luz


Descomposición de la luz al atravesar un prisma


Además de la luz visible, también existe a frecuencias más altas la luz ultravioleta, los rayos X y los rayos gamma. A frecuencias más bajas, tenemos la luz infrarroja y luego las ondas de radio.

Newton pensó que la luz estaba formada por pequeños corpúsculos. Acertó pero con un razonamiento equivocado. Hoy sabemos que la intensidad de la luz depende del número de corpúsculos, hoy llamados fotones, que inciden sobre un objeto y no de la energía de cada corpúsculo, pues esta es la misma para cada color de la luz.



Cuanto de Planck

La energía solo puede radiarse de manera discreta o discontinua en paquetes o  cuantos cuya energía es proporcional a la frecuencia


El fotomultiplicador es un aparato diseñado para detectar cada uno de estos corpúsculos. Se trata de un conjunto de placas metálicas que amplifican un único electron arrancado por un fotón (efecto fotoeléctrico) hasta un flujo de electrones hasta crear una corriente que alimenta un altavoz. Bajo una luz muy tenue emite un click cada vez que detecta un fotón. Para cada frecuencia el click tiene la misma intensidad.

Son conocidas algunas propiedades de la luz en circunstancias ordinarias:

  • Se propaga en línea recta.
  • Se refracta cuando incide sobre el agua.
  • El ángulo de reflexión es igual al de incidencia.
  • La luz puede descomponerse en colores.
  • Una lente focaliza la luz.


En este libro, Richard Feynman explica estos fenómenos en términos de la teoría de la electrodinámica cuántica.

Por ejemplo podemos considerar el siguiente experimento: hacemos incidir con un ángulo de 90° un rayo de luz de un único color sobre un cristal. Parte de ellos lo atraviesan y algunos se reflejan (por la superficie y por todo el grueso). De cada 100 fotones, 96 atraviesan el cristal y 4 son reflejados. ¿Cómo puede ser que la luz sea reflejada parcialmente?¿Cómo sabe el fotón que tiene que atravesar el cristal o rebotar?



Experimento para medir la reflexión parcial de la luz por dos superficies de cristal



Por mucho que intentemos explicar cómo un fotón decide si atraviesa un cristal o retrocede, es imposible predecir en que dirección irá un fotón. Todo lo que podemos predecir es la probabilidad de que lo atraviese o rebote.

Para mayor desconcierto, esta probabilidad depende del espesor del cristal. Variando este espesor, entre el 0-16% de fotones salen rebotados y entre el 84-100% de fotones atraviesan el cristal.



Reflexion de la luz por un cristal


Los resultados de un experimento que mide cuidadosamente la relación entre el espesor de una lámina de cristal y la reflexión parcial, demuestran la existencia de un fenómeno llamado interferencia. Al aumentar el espesor del cristal, la reflexión parcial experimenta un ciclo de repetición desde el 0 hasta el 16%, sin síntomas de extinción


Los resultados de un experimento que mide la relación entre el espesor de una lámina de cristal y la reflexión parcial, demuestran la existencia de un fenómeno de interferencia. Al aumentar el espesor del cristal, la reflexión parcial experimenta un ciclo de repetición desde el 0 al 16%, de interferencia constructiva y destructiva, sin síntomas de extinción.

Durante muchos años después de Newton, la reflexión parcial por dos superficies se explicaba felizmente mediante la teoría ondulatoria, pero cuando los experimentos se realizaron con luz muy débil incidiendo en fotomultiplicadores, esta teoría colapsó: según se iba haciendo la luz más tenue, los fotomultiplicadores seguían haciendo clicks de igual intensidad, solo  que cada vez en menos número. La luz se comportaba como partículas.

La situación actual es que no tenemos un buen modelo para explicar la reflexión parcial por dos superficies; solo calculamos la probabilidad de  que  un fotomultiplicador determinado sea alcanzado por un fotón reflejado por una lámina de cristal.

Este caso es un ejemplo del método proporcionado por la Electrodinámica Cuántica y es aplicable a cualquier otro problema.

El método consiste en sumar flechas (fasores o números complejos) asociadas a cada uno de los posibles caminos tomados por el fotón. La longitud de cada flecha (el módulo del fasor llamado amplitud de probabilidad) al cuadrado proporciona la probabilidad de que el fotón haya cogido ese camino. Puesto que cada flecha tiene una fase, al sumarlas puede producirse interferencia constructiva o destructiva.

Esta fase puede imaginarse como la manecilla de un cronómetro que viaja junto al fotón y cuya velocidad depende del color (de la frecuencia) del fotón. Esta velocidad es mayor cuanto más alta es la frecuencia.



Suma de historias de la mecanica cuantica

Formulación de la integral de camino o de suma de historias de la mecánica cuántica propuesta por Richard Feynman. En la exponencial compleja está incluida el giro o fase de la flecha y la función de onda es la amplitud de la flecha. La integral es la suma de flechas


Al realizar la suma de las flechas, antes debemos invertir el sentido de una de ellas. Al hacer el módulo al cuadrado de la flecha resultante obtenemos la probabilidad de que el fotón sea reflejado por la doble superficie de cristal.

Si vamos aumentando la separación entre superficies pasamos por puntos de interferencia constructiva y de interferencia destructiva.



Reflexion parcial de la luz dependiendo de su frecuencia

Reflexión parcial de la luz monocromática dependiendo de su frecuencia. La probabilidad varía entre el 0% y el 16%. Puesto que la velocidad de la manecilla del cronógrafo varía para los distintos colores de la luz, el ciclo se repite a velocidades diferentes en función del color de la luz


2. Fotones: Partículas de luz


En esta conferencia Feynman explica como la Electrodinámica Cuántica puede explicar todas las propiedades elementales de la luz:

  • El ángulo de incidencia es igual al de reflexión.
  • La luz se curva cuando pasa del aire al agua.
  • La luz viaja en línea recta.
  • La luz se puede focalizar por una lente.

Reflexión de la luz por un espejo


Esperamos que toda la luz que alcance el detector se refleje en el centro del espejo, porque es donde el ángulo de incidencia es igual al de reflexión. Pero realmente los fotones van por todos los caminos posibles incidiendo en todos los puntos del espejo. Por eso la probabilidad de que el  fotón alcance el detector es el cuadrado de la flecha final obtenida dibujando una flecha para cada camino y luego sumándolas.

La amplitud de cada flecha es prácticamente la misma. Lo que varía principalmente es su dirección debido a la diferencia de tiempo que tarda el fotón en alcanzar el detector por cada uno de los caminos posibles.



Reflexion de la luz por un cristal

El punto de vista cuántico del mundo establece que la luz se refleja con la misma amplitud desde cualquier punto del espejo, desde A hasta M


La mayor contribución a la longitud de la flecha final proviene de los caminos en torno al punto G, cuyas direcciones son casi iguales porque el tiempo de sus caminos son casi iguales. También ocurre que aquí es donde el tiempo es mínimo. Es por tanto bastante aproximado el decir que la luz va por donde el tiempo es mínimo. Y es fácil demostrar que donde el tiempo es menor, el ángulo de incidencia es igual al de reflexión.

La electrodinámica cuántica da la respuesta correcta a expensas de afirmar que la luz se refleja por todo el espejo. Para comprobarlo podemos hacer otro pequeño experimento. Cortamos el espejo quedándonos con la cuarta parte de la izquierda (desde el punto A hasta el punto D aproximadamente). Las flechas asociadas a esta parte del espejo tienen unas direcciones muy diferentes con lo que tienden a cancelarse resultando una flecha muy corta y una probabilidad pequeña de que la luz alcance el detector. Refleja poco pero refleja.

Si ahora rallamos inteligentemente el espejo en los lugares precisos podemos conseguir que solo se refleje luz en aquellos puntos donde las flechas tienen direcciones parecidas, sumándose constructivamente y resultando en una probabilidad elevada de alcanzar el detector. Hemos creado una red de difracción



Red de difraccion
Red de difracción que permite una intensidad de luz mayor en el detector


Puesto que la dirección de las flechas depende del color de la luz, esta red de difracción funciona para un color determinado. Podemos conseguir que funcione para otros colores variando la altura del detector, es decir, el ángulo de reflexión. En consecuencia, dependiendo del ángulo, es posible ver colores diferentes reflejandose en una superficie con surcos, como en un disco de gramófono.


Esto es análogo al caso de la reflexión  parcial por dos superficies: mientras que cada superficie es capaz de reflejar por sí misma, si el espesor es tal que las dos superficies contribuyen con flechas señalando en sentidos opuestos, la reflexión se anula.

La naturaleza ha creado muchos tipos de redes de difracción en forma de cristales. Un cristal de sal refleja los rayos X para determinados ángulos, a partir de los cuales se puede calcular la distribución exacta y el espaciado de los átomos individuales.



Ley de Bragg


La ley de Bragg nos da el ángulo de reflexión de la luz en función de la longitud de onda y la distancia entre átomos



Atomos en un cristal
Un cristal cuyos átomos están ordenados refleja los rayos X en una dirección determinada en función de su separación




Refracción de la luz


La teoría cuántica establece que la luz puede ir desde una fuente en el aire a un detector en el agua por muchos caminos. De nuevo, la contribución mayor a la longitud de la flecha final proviene de aquellos caminos cuyas flechas señalan casi en la misma dirección porque sus tiempos son casi iguales (lo determinante de cara a la flecha final es la diferencia de fase, y esta depende de la diferencia de tiempo de cada camino); una vez más, aquí es donde el tiempo es mínimo.

Encontrar el camino de tiempo mínimo de la luz es análogo a encontrar el camino de tiempo mínimo para un socorrista que corriendo y luego nadando rescatase a una víctima que se está ahogando: el camino más corto tiene demasiada parte con agua tal y como se ve en la figura siguiente; el camino de menor porción de agua tiene demasiada parte con tierra; el camino de menor tiempo es un compromiso entre los dos.



Refraccion de la luz




En el caso de la refracción de la luz el camino de distancia mínima entre dos puntos no es el que sigue la luz al no ser el camino de tiempo mínimo


Refraccion de la luz
Cada camino posible contribuye con una flecha de amplitud similar porque las distancias son parecidas pero de direcciones diferentes porque las variaciones en el tiempo son mayores debido a la elevada frecuencia de la luz visible. La suma de estas flechas proporciona una flecha final cuyo módulo al cuadrado da la probabilidad de que la luz alcance el detector



Espejismos


Encontrar el camino de tiempo mínimo explica como se produce un espejismo. La luz viaja más deprisa en aire caliente que en aire frío. Parte del cielo parece estar en la carretera porque parte de la luz del cielo llega al ojo provinente de la carretera. La única ocasión en que el cielo parece estar en la carretera es cuando lo refleja el agua y así el espejismo hace que parezca que haya agua.



Espejismo


El aire caliente junto a la carretera desvía los rayos provinentes del cielo dando la sensación de que el cielo esté en la carretera


La luz viaja en línea recta


La teoría cuántica se puede utilizar para demostrar el por qué la luz parece viajar en línea recta. Cuando se han considerado todos los caminos posibles, cada camino sinuoso tiene un camino vecino de distancia considerablemente inferior y consecuentemente de tiempo mucho menor. Solo los caminos próximos al camino recto D tienen flechas señalando casi en la misma direccion, porque sus tiempos son casi los mismos. Únicamente estas flechas son importantes, porque ellas son las que permiten obtener una flecha final grande.


La luz viaja en linea recta
Solo los caminos próximos al camino recto D tienen flechas señalando casi en la misma direccion, porque sus tiempos son casi los mismos. Únicamente estas flechas son importantes pues las demás tienden a cancelarse


Si colocamos dos bloques de hormigón suficientemente separados para permitir los caminos cercanos a la línea recta, los fotones llegan normalmente a P y casi nunca a Q.




Principio de Incertidumbre en la luz
Ejemplo del principio de incertidumbre: cuando la luz se restringe tanto que solo unos pocos caminos son posibles estos no son suficientes para cancelar aquellos que alcanzan puntos como Q


Sin embargo cuando la luz se restringe tanto que solo unos pocos caminos son posibles, la luz que es capaz de pasar a través de la rendija estrecha va tanto a Q como a P, porque no existen flechas suficientes representando los caminos a Q como para que estos se anulen.

Por tanto, cuando intentamos constreñir mucho la luz para asegurarnos de que solo viaja en línea recta, esta empieza a desperdigarse. Este es un ejemplo del Principio de Incertidumbre. Por consiguiente, la idea de que la luz viaja en línea recta es una aproximación conveniente.




La luz se puede focalizar por una lente


De la misma manera que engañábamos a la luz para hacer que se reflejara con muchos ángulos en un espejo mediante una red de difracción, podemos realizar un truco similar para hacer que la luz vaya de un punto S a un punto P por varios caminos.

Este análisis de todos los caminos posibles de S a P solo incluyen los de doble línea recta en un único plano. Como en el caso real, existe una curva de tiempos con un mínimo, de donde procede la contribución mayor a la flecha final



Para este caso solo se consideran los caminos posibles de doble línea recta (en un único plano). También existe una curva de tiempos con un mínimo, de donde procede la contribución mayor a la flecha final.


Debido al indice de refracción diferente del cristal, al insertar uno de espesor variable, una lente, se consigue que todos los caminos lleven el mismo tiempo produciendo interferencia constructiva y una flecha final enorme



Se puede engañar a la naturaleza reduciendo la velocidad de la luz que va por los caminos más cortos: insertando cristal del espesor adecuado de manera que todos los caminos lleven el mismo tiempo. Esto produce interferencia constructiva y una flecha final enorme. Un trozo de cristal diseñado para aumentar mucho la probabilidad de la luz que va desde la fuente a un punto determinado se llama lente focalizadora.


Sucesos Compuestos

Un suceso compuesto puede analizarse como una sucesión de pasos. En este ejemplo, el camino de un fotón que va de S a C puede dividirse en dos pasos:

1) El fotón va de S a A.
2) El fotón va de A a C.

Cada paso se puede analizar por separado y obtener una flecha que se puede considerar de una nueva manera: como una flecha unidad (longitud 1 señalando a las 12 en punto) que ha experimentado una reducción y un giro. En este ejemplo, la reducción y el giro para el paso 1) es 0,2 y las 2 en punto mientras que para el paso 2) es 0,3 y las 5 en punto. Para obtener la flecha resultante se reduce y gira sucesivamente, de manera que multiplicar dos flechas equivale a multiplicar las reducciones y sumar los giros.

Puesto que estas flechas obedecen las mismas reglas del álgebra que los números complejos, podríamos decir también que la probabilidad de un suceso es el valor absoluto del cuadrado de un número complejo. Cuando un suceso puede ocurrir por caminos alternativos, se deben sumar los números complejos. Cuando pueda ocurrir solo por una sucesión de pasos, se deben multiplicar los números complejos.

La reflexión por una superficie se puede descomponer, por tanto, en tres pasos, cada uno con una reducción y o un giro de la flecha unidad. El resultado total, una flecha de longitud 0,2 señalando en alguna dirección, resultando en una probabilidad del 4%.


La transmisión a través de una superficie también se puede dividir en tres pasos, con una reducción y o giro en cada uno. Una flecha de longitud 0,98 tiene un cuadrado de 0,9604, aproximadamente 0,96, representando una probabilidad de transmisión del 96%.


La reflexión por la superficie posterior de una lámina de cristal se puede dividir en siete pasos. Los pasos 1, 3, 5 y 7 implican solo un giro, los pasos 2 y 6 implican reducciones a 0,98 y el paso 4 implica una reducción a 0,2. El resultado es una flecha de longitud 0,98x0,2x0,98=0,192 (0,2 aproximadamente) girada en un ángulo que corresponde a la cantidad total de giro de la manecilla del cronógrafo imaginario.



Reflexion de la luz
La reflexión por la superficie posterior de una lámina de cristal se puede dividir en siete pasos


En estos ejemplos se considera que la luz no se dispersa, con lo que la luz va a un punto concreto de la superficie de cristal. Sin embargo, en realidad hay dispersión y una pequeña reducción de la flecha unidad que lleva asociada. Al no dispersarse, cada fotón que abandona la fuente finaliza en A o en B.


La transmisión por dos superficies puede descomponerse en cinco pasos. El paso 2 reduce la flecha unidad a 0,98, el paso 4 la reduce a 0,9604; los pasos 1, 3 y 5 implican sólo un giro. La flecha resultante, de longitud 0,96 aproximadamente tiene un cuadrado aproximado de 0,92 (probabilidad de transmisión del 92%, que se corresponde con el esperado 8% de reflexión «dos veces al día». Cuando el espesor de la lámina es el adecuado para producir el 16% de reflexión, con un 92% de probabilidad de transmisión, se obtiene un 108% de luz! Algo está mal en este análisis.

Fig 43



La transmisión de la luz por dos superficies puede descomponerse en cinco pasos

Lo que ocurre es que no se habían considerado todos los caminos posibles. La probabilidad de transmisión no siempre es del 92% si se consideran todos los caminos posibles.



Camino alternativo para la transmision por dos superficies
Camino alternativo para la transmisión de la luz por dos superficies



Para hacer los cálculos más precisos se debe considerar otro camino por el que la luz pueda transmitirse a través de dos superficies. Este camino implica dos reducciones de 0,98 (pasos 2 y 8) y dos reducciones de 0,2 (pasos 4 y 6), resultando en una flecha de longitud 0,0384 aproximadamente 0,04.

Ahora debemos sumar las dos flechas de 0,96 y 0,04 para obtener la flecha final, cuyo modulo al cuadrado nos dará la probabilidad. Para sumarlas debemos multiplicar las longitudes y sumar los giros.

Las dos flechas, en general, no tienen la misma dirección, porque al cambiar el espesor del cristal cambia la dirección relativa de la flecha de 0,04 con respecto a la de 0,96. Pero asombrosamente el giro extra del cronógrafo junto al fotón durante los pasos 3 y 5 (en su camino hacia A) es igual al que da al seguir al fotón durante los pasos 5 y 7 (en su camino hacia B). Así cuando las dos flechas de reflexión se cancelan, las flechas de transmisión se suman resultando en una flecha final de longitud 1. La naturaleza siempre se asegura de que se responde del 100% de la luz.

Y cuando las flechas de reflexión se unen para dar una amplitud de 0,4, las flechas de transmisión se oponen, dando una amplitud de longitud 0,96. Cuando la reflexión es del 16% (0,04 al cuadrado aunque en realidad es 0,0384 al cuadrado), la transmisión es del 84% (0,92 al cuadrado).

Lo que sucede es que la probabilidad de que un fotón llegue a B es el 100% menos la probabilidad de que llegue a A. Como la probabilidad de A varía de cero al 16% pasando por el 8% en función del espesor del cristal, la probabilidad para B varía del 100% al 84% pasando por el 92%.


Para realizar un cálculo más apropiado se deben considerar aún otros caminos por los que la luz se puede reflejar. En el nuevo camino de reflexión, hay reducciones de 0,98 en los pasos 2 y 10, y reducciones de 0,2 en los pasos 4,6 y 8. El resultado es una flecha de longitud aproximadamente 0,008, que representa otra alternativa para la reflexión y que por tanto debe añadirse a las otras flechas que representan la reflexión (0,2 para la superficie frontal y 0,192 para la superficie posterior). Para un cálculo completo de la reflexión parcial por dos superficies se deberían añadir más flechas correspondientes a 5 reflexiones, 7 reflexiones, etc.



Reflexion de la luz por dos superficies
Nuevo camino de reflexión que debe considerarse para un cálculo más preciso de la reflexión de la luz por dos superficies




Sucesos Independientes


La regla de multiplicar flechas también de aplica al caso de sucesos independientes y posiblemente simultáneos.

Por ejemplo supongamos que tenemos dos fuentes X e Y, y dos detectores, A y B y queremos calcular la probabilidad de que cada vez que X e Y emitan un fotón, A y B detecten uno cada uno. En este caso consideraremos el caso real de que la luz se dispersa cuando viaja.

Sin tener en cuenta la polarización, solo debemos saber que para la luz monocromática viajando a través del espacio el ángulo de la flecha depende del cronógrafo imaginario, que gira un cierto número de veces por metro y la longitud de la flecha es inversamente proporcional a la distancia (con lo que la probabilidad se reduce con el cuadrado de la distancia).

En este caso el suceso final es: después de que las fuentes X e Y pierden cada una un fotón, los fotomultiplicadores A y B hacen un click. Un camino por el que puede tener lugar este suceso es el de un fotón que vaya de X a A y otro fotón que vaya de Y a B (dos cosas independientes). Para calcular la probabilidad de este primer camino las flechas de cada suceso se multiplican.

El otro camino es que un fotón vaya de X a B y otro de Y a A. Finalmente se suman ambas flechas resultando una flecha final del suceso, cuya longitud al cuadrado nos dará la probabilidad.


En este ejemplo las longitudes de ambas flechas son similares pero su giro es muy diferente. La manecilla del cronógrafo gira 36.000 veces por pulgada para la luz roja, de modo que una minúscula diferencia en la distancia resulta en una fase muy diferente. Por eso es posible que las flechas se cancelen si sus sentidos o fases son opuestos. Las direcciones relativas de ambas flechas pueden alternarse cambiando la distancia entre las fuentes o los detectores, variando así la probabilidad cíclicamente en función de la distancia.




3. Los electrones y sus interacciones



Este capítulo empieza explicando el experimento de la doble rendija para luz monocromática muy débil, un fotón cada vez. Los fotones van de una fuente a un detector a través de una pantalla con dos minúsculos agujeros separados unos milímetros entre sí. Si la separación entre fuente y detector es de 100 cm, los agujeros deben ser más pequeños que una décima de milímetro. Alineemos A con S y D con B desaliniado y próximo a A.



Experimento de la doble rendija
Experimento de la doble rendija




Cuando se abre uno u otro ambos agujeros dejan pasar la misma cantidad de luz (un 1%). Cuando se abren ambos simultáneamente tiene lugar la interferencia: el detector emite clicks desde 0 al 4% de las veces en lugar del 2% esperado dependiendo de la separación entre A y B. Parece como si el fotón se interfiriera consigo mismo pasando por ambos agujeros simultáneamente






Resultado del experimento de la doble rendija
Resultado del experimento de la doble rendija. A) ambos agujeros abiertos, b) ambos agujeros abiertos con un detector en cada uno, c) y d) ambos agujeros abiertos con un detector no fiable al 100% en cada uno




Si colocamos un detector en cada uno de los agujeros para saber por donde pasa exactamente el fotón, vemos que pasa por A o B pero nunca por los dos, desapareciendo la interferencia. Los detectores interaccionan con los fotones provocando el colapso de la función de onda y la decoherencia cuántica, desapareciendo el patrón de interferencia. En este caso el detector se dispara el 2% de las veces (la suma normal de probabilidades) independientemente de la separación entre los agujeros A y B.



Experimento de la doble rendija

Experimento de la doble rendija que reveló el carácter ondulatorio de la materia. Patrón de interferencia en el experimento de la doble rendija debido a la coherencia cuántica


Cuando no existen detectores en A o en B, existe interferencia. Cuando hay detectores fiables al 100% en A y en B no hay interferencia. Cuando los detectores no son fiables al 100%, existe una mezcla con mas interferencia cuanto menos fiabilidad tienen los detectores.

En la primera conferencia se explicó como un suceso se podía dividir en caminos alternativos para luego sumar la flecha final de cada camino. En la segunda conferencia se vio como cada camino podía dividirse en pasos sucesivos, multiplicándose las flechas para obtener la flecha asociada a cada camino y luego sumarlas para obtener una flecha final cuyo modulo al cuadrado nos dará la probabilidad del suceso. Pero, ¿hasta que punto puede descomponerse cada camino?  La respuesta es que existen tres acciones o sucesos básicos que involucran a un único electrón y o a un único fotón en cada uno de ellos:

1) Un fotón va de un sitio a otro.
2) Un electrón va de un sitio a otro.
3) Un electrón emite o absorbe un fotón.

Los electrones muestran el mismo comportamiento que los fotones. A escala macroscópica (mucho mayor que la requerida para un giro de cronógrafo) los fenómenos que observamos pueden aproximarse bien por reglas como la luz viaja en línea recta porque existen caminos suficientes alrededor del camino de tiempo mínimo como para reforzarlo, y caminos suficientes como para anular cualquier otro. Pero cuando el espacio considerado es muy pequeño estas reglas fallan y vemos como se crean interferencias. Por eso en el interior del átomo los electrones no siguen órbitas definidas, sino que se encuentran en orbitales.

Cada una de estas tres acciones tiene una amplitud o flecha que se puede calcular siguiendo ciertas reglas.



1) Un fotón va de un sitio a otro


Un fotón (representado por una línea ondulante) tiene una cierta amplitud de ir de un punto A del espacio-tiempo a otro B. Esta amplitud P(A a B), se calcula con una fórmula que depende solo de la diferencia de posiciones (X2-X1) y de tiempos (T2-T1). De hecho es una función sencilla que es la inversa de la diferencia de sus cuadrados (un intervalo relativista). En estas gráficas el tiempo se mide en segundos dividido por la velocidad de la luz c.



Diagrama de Feynman de un foton
Un fotón va de un punto A a un punto B en el espacio-tiempo


La mayor contribución a la flecha final P(A a B) viene de donde se supone (de I=0 o v=c). Pero además existe una contribución cuando I no es 0, que es inversamente proporcional a I. Señala las 3 en punto cuando I es mayor que 0 (v mayor que c) y señala las 9 en punto cuando I es menor que 0.
<0 .="" a="" adem="" amplitudes="" as="" c.="" c="" cancelan="" considerarse.="" cortas="" cuando="" de="" deben="" diferente="" distancias.="" distancias="" dos="" embargo="" en="" estas="" l="" la="" largas="" las="" luz="" muy="" nea="" nicamente="" no="" otras="" p="" para="" peque="" posibilidades="" recta="" s="" se="" sin="" solo="" son="" stas="" v="" va="" velocidad="" viajar="" vitales="" y="">

<0 .="" a="" adem="" amplitudes="" as="" c.="" c="" cancelan="" considerarse.="" cortas="" cuando="" de="" deben="" diferente="" distancias.="" distancias="" dos="" embargo="" en="" estas="" l="" la="" largas="" las="" luz="" muy="" nea="" nicamente="" no="" otras="" p="" para="" peque="" posibilidades="" recta="" s="" se="" sin="" solo="" son="" stas="" v="" va="" velocidad="" viajar="" vitales="" y="">
<0 .="" a="" adem="" amplitudes="" as="" c.="" c="" cancelan="" considerarse.="" cortas="" cuando="" de="" deben="" diferente="" distancias.="" distancias="" dos="" embargo="" en="" estas="" l="" la="" largas="" las="" luz="" muy="" nea="" nicamente="" no="" otras="" p="" para="" peque="" posibilidades="" recta="" s="" se="" sin="" solo="" son="" stas="" v="" va="" velocidad="" viajar="" vitales="" y="">2) Un electrón va de un sitio a otro
<0 .="" a="" adem="" amplitudes="" as="" c.="" c="" cancelan="" considerarse.="" cortas="" cuando="" de="" deben="" diferente="" distancias.="" distancias="" dos="" embargo="" en="" estas="" l="" la="" largas="" las="" luz="" muy="" nea="" nicamente="" no="" otras="" p="" para="" peque="" posibilidades="" recta="" s="" se="" sin="" solo="" son="" stas="" v="" va="" velocidad="" viajar="" vitales="" y="">

La fórmula para la amplitud de esta acción considerando un electrón sin polarización E(A a B) también depende de (X2-X1) y  (T2-T1) y de un número n de calibración con los experimentos. Es una fórmula complicada pero es igual a P(A a B)  cuando n vale 0.



E(A a B) también puede representarse como una suma gigantesca de un montón de caminos distintos por los que un electrón puede ir del punto A al punto B del espacio-tiempo: puede ir dando un salto, dando dos saltos, tres saltos etc. En este análisis la amplitud de cada salto es la misma para un fotón que vaya entre esos mismos puntos

E(F a G) = P(F a G). La amplitud de cada parada se representa por . Así pues:



E(A a B) = P(A a B) + P(A a C)xn²xP(C a B) + P(A a D) xn²xP(D a E)xn²xP(E a B) + ... la suma de todos los posibles puntos intermedios C, D y E y así sucesivamente.



Al aumentar n, los caminos indirectos contribuyen más a la flecha final. Cuando n es cero, E(A a B) = P(A a B).

<0 .="" a="" adem="" amplitudes="" as="" c.="" c="" cancelan="" considerarse.="" cortas="" cuando="" de="" deben="" diferente="" distancias.="" distancias="" dos="" embargo="" en="" estas="" l="" la="" largas="" las="" luz="" muy="" nea="" nicamente="" no="" otras="" p="" para="" peque="" posibilidades="" recta="" s="" se="" sin="" solo="" son="" stas="" v="" va="" velocidad="" viajar="" vitales="" y="">

Caminos por los que puede ir un electron entre dos puntos
El electrón puede ir de A a B directamente o por otros caminos indirectos pasando por otros puntos intermedios


El número de veces que un electrón puede cambiar de dirección va de 0 a infinito, y los puntos en que un electrón puede cambiar de dirección en su camino de A a B en el espacio-tiempo son infinitos.


3) Un electrón emite o absorbe un fotón



Esta acción se llama unión o acoplamiento. Si dibujamos un electrón con una recta, cada acoplamiento es una unión entre dos líneas rectas y una ondulante. La amplitud de esta acción es j (o la inversa de la raiz de α, conocido como constante de estructura fina. ) cuyo valor aproximado es 0,1 con un giro de media vuelta. 

<0 .="" a="" adem="" amplitudes="" as="" c.="" c="" cancelan="" considerarse.="" cortas="" cuando="" de="" deben="" diferente="" distancias.="" distancias="" dos="" embargo="" en="" estas="" l="" la="" largas="" las="" luz="" muy="" nea="" nicamente="" no="" otras="" p="" para="" peque="" posibilidades="" recta="" s="" se="" sin="" solo="" son="" stas="" v="" va="" velocidad="" viajar="" vitales="" y="">

Absorcion de un foton por un electron
Diagrama de Feynman de la absorción de un fotón por un electrón
<0 .="" a="" adem="" amplitudes="" as="" c.="" c="" cancelan="" considerarse.="" cortas="" cuando="" de="" deben="" diferente="" distancias.="" distancias="" dos="" embargo="" en="" estas="" l="" la="" largas="" las="" luz="" muy="" nea="" nicamente="" no="" otras="" p="" para="" peque="" posibilidades="" recta="" s="" se="" sin="" solo="" son="" stas="" v="" va="" velocidad="" viajar="" vitales="" y="">

<0 .="" a="" adem="" amplitudes="" as="" c.="" c="" cancelan="" considerarse.="" cortas="" cuando="" de="" deben="" diferente="" distancias.="" distancias="" dos="" embargo="" en="" estas="" l="" la="" largas="" las="" luz="" muy="" nea="" nicamente="" no="" otras="" p="" para="" peque="" posibilidades="" recta="" s="" se="" sin="" solo="" son="" stas="" v="" va="" velocidad="" viajar="" vitales="" y="">

Esto es todo lo que concierne a las tres acciones salvo la polarización.

<0 .="" a="" adem="" amplitudes="" as="" c.="" c="" cancelan="" considerarse.="" cortas="" cuando="" de="" deben="" diferente="" distancias.="" distancias="" dos="" embargo="" en="" estas="" l="" la="" largas="" las="" luz="" muy="" nea="" nicamente="" no="" otras="" p="" para="" peque="" posibilidades="" recta="" s="" se="" sin="" solo="" son="" stas="" v="" va="" velocidad="" viajar="" vitales="" y="">
<0 .="" a="" adem="" amplitudes="" as="" c.="" c="" cancelan="" considerarse.="" cortas="" cuando="" de="" deben="" diferente="" distancias.="" distancias="" dos="" embargo="" en="" estas="" l="" la="" largas="" las="" luz="" muy="" nea="" nicamente="" no="" otras="" p="" para="" peque="" posibilidades="" recta="" s="" se="" sin="" solo="" son="" stas="" v="" va="" velocidad="" viajar="" vitales="" y="">Probabilidad de que dos electrones que parten de 1 y 2 acaben en 3 y 4.

<0 .="" a="" adem="" amplitudes="" as="" c.="" c="" cancelan="" considerarse.="" cortas="" cuando="" de="" deben="" diferente="" distancias.="" distancias="" dos="" embargo="" en="" estas="" l="" la="" largas="" las="" luz="" muy="" nea="" nicamente="" no="" otras="" p="" para="" peque="" posibilidades="" recta="" s="" se="" sin="" solo="" son="" stas="" v="" va="" velocidad="" viajar="" vitales="" y="">

Una primera aproximación sería considerar dos caminos con dos sucesos simultáneos en cada camino:


<0 .="" a="" adem="" amplitudes="" as="" c.="" c="" cancelan="" considerarse.="" cortas="" cuando="" de="" deben="" diferente="" distancias.="" distancias="" dos="" embargo="" en="" estas="" l="" la="" largas="" las="" luz="" muy="" nea="" nicamente="" no="" otras="" p="" para="" peque="" posibilidades="" recta="" s="" se="" sin="" solo="" son="" stas="" v="" va="" velocidad="" viajar="" vitales="" y="">P1 = E(1 a 3)xE(2 a 4)

P2 = E(1 a 4)xE(2 a 3)

P = |P1 + P2|²

En el caso de haber considerado la polarización, la flecha del segundo camino debería restarse (giro 90°).

Para realizar un cálculo más preciso debemos considerar otros caminos posibles. Dos de ellos consistirían en la emisión de un fotón en 5 que se absorbe en 6. También podría pensarse que el fotón se emitió en 6 y retrocedió en el tiempo (fue más rápido que la luz) y se absorbió en 5. En este caso sería un antifotón, que es un fotón porque la antipartícula de un fotón es él mismo. Las antipartículas serían partículas que viajan atrás en el tiempo. Por eso en lugar de decir que se ha emitido y absorbido un fotón decimos que se ha intercambiado un fotón. Los fotones intercambiados de esta manera que no aparecen en las condiciones iniciales ni finales de los experimentos se llaman fotones virtuales porque no pueden ser detectados al tener una energía no permitida por el principio de incertidumbre.

<0 .="" a="" adem="" amplitudes="" as="" c.="" c="" cancelan="" considerarse.="" cortas="" cuando="" de="" deben="" diferente="" distancias.="" distancias="" dos="" embargo="" en="" estas="" l="" la="" largas="" las="" luz="" muy="" nea="" nicamente="" no="" otras="" p="" para="" peque="" posibilidades="" recta="" s="" se="" sin="" solo="" son="" stas="" v="" va="" velocidad="" viajar="" vitales="" y=""><0 .="" a="" adem="" amplitudes="" as="" c.="" c="" cancelan="" considerarse.="" cortas="" cuando="" de="" deben="" diferente="" distancias.="" distancias="" dos="" embargo="" en="" estas="" l="" la="" largas="" las="" luz="" muy="" nea="" nicamente="" no="" otras="" p="" para="" peque="" posibilidades="" recta="" s="" se="" sin="" solo="" son="" stas="" v="" va="" velocidad="" viajar="" vitales="" y="">P3 = E(1 a 5)xjxE(5 a 3)xE(2 a 6)xjxE(6 a 4)xP(5 a 6)


<0 .="" a="" adem="" amplitudes="" as="" c.="" c="" cancelan="" considerarse.="" cortas="" cuando="" de="" deben="" diferente="" distancias.="" distancias="" dos="" embargo="" en="" estas="" l="" la="" largas="" las="" luz="" muy="" nea="" nicamente="" no="" otras="" p="" para="" peque="" posibilidades="" recta="" s="" se="" sin="" solo="" son="" stas="" v="" va="" velocidad="" viajar="" vitales="" y=""><0 .="" a="" adem="" amplitudes="" as="" c.="" c="" cancelan="" considerarse.="" cortas="" cuando="" de="" deben="" diferente="" distancias.="" distancias="" dos="" embargo="" en="" estas="" l="" la="" largas="" las="" luz="" muy="" nea="" nicamente="" no="" otras="" p="" para="" peque="" posibilidades="" recta="" s="" se="" sin="" solo="" son="" stas="" v="" va="" velocidad="" viajar="" vitales="" y="">P4 = E(1 a 6)xjxE(6 a 4)xE(2 a 5)xjxE(5 a 3)xP(5 a 6)


P = |P1 + P2+ P3 + P4|²
<0 .="" a="" adem="" amplitudes="" as="" c.="" c="" cancelan="" considerarse.="" cortas="" cuando="" de="" deben="" diferente="" distancias.="" distancias="" dos="" embargo="" en="" estas="" l="" la="" largas="" las="" luz="" muy="" nea="" nicamente="" no="" otras="" p="" para="" peque="" posibilidades="" recta="" s="" se="" sin="" solo="" son="" stas="" v="" va="" velocidad="" viajar="" vitales="" y="">
Las condiciones finales de ambas alternativas son idénticas que las de los otros dos casos (entran 2 electrones y salen 2 fotones) y estos resultados son indistinguibles de las otras alternativas. Por tanto, las flechas para estos caminos alternativos se deben sumar a las dos anteriores para obtener una mejor aproximación a la flecha final del suceso.



Electrones interaccionan intercambiando un foton
Dos electrones interaccionan mediante el intercambio de un fotón



Las posiciones 5 y 6 pueden estar en cualquier lugar en el espacio-tiempo y las flechas de todas estas posiciones se tienen que calcular y sumar.

Otro camino sería mediante el intercambio de dos fotones. Para este camino son posibles muchos diagramas. Habría 6 E(A a B), 2 P(A a B) y 4 j para cada posible punto 5, 6, 7 y 8 del espacio-tiempo. Sin embargo la buena noticia está en el valor de j, que es de 0,1. En los dos primeros caminos no aparecía, en el siguiente aparecía j x j, que aporta una flecha 0,01 veces menor (y una probabilidad 0,0001 veces inferior). Una flecha con j x j x j x j como la del último camino es casi despreciable.


Difusión de la luz

La difusión de la luz implica un fotón incidiendo sobre un electrón y emitiendo un fotón (no necesariamente en este orden). En el ejemplo c) de la fig. 63 un electrón emite un fotón, retrocede en el tiempo para absorber un fotón y luego continua hacia adelante en el tiempo. Un electrón que viaja hacia atrás en el tiempo puede verse como su antipartícula, el positrón, viajando hacia adelante en el tiempo. En el caso del positrón y considerando la polarización, el parámetro j cambia de signo al tener una carga positiva.



Diagrama de Feynman

Diagrama de Feynman en que un electrón se aniquila con un positrón. El fotón resultante se transforma posteriormente en un nuevo par electrón-positrón


<0 .="" a="" adem="" amplitudes="" as="" c.="" c="" cancelan="" considerarse.="" cortas="" cuando="" de="" deben="" diferente="" distancias.="" distancias="" dos="" embargo="" en="" estas="" l="" la="" largas="" las="" luz="" muy="" nea="" nicamente="" no="" otras="" p="" para="" peque="" posibilidades="" recta="" s="" se="" sin="" solo="" son="" stas="" v="" va="" velocidad="" viajar="" vitales="" y="">Por tanto, la acción 2, un electrón va de un sitio a otro debe incluir en la probabilidad E(A a B) la posibilidad de que emita y absorba uno o n fotones virtuales durante el camino.


El electrón en el átomo de hidrógeno

Intercambiando fotones el protón mantiene al electrón en sus proximidades. Mientras el electrón puede absorber un fotón procedente del exterior del átomo y emitir un nuevo fotón posteriormente (o emitir un fotón antes de absorber el incidente). La difusión de la luz por un electrón en un átomo es el fenómeno que explica la reflexión parcial de la luz en una lámina de cristal.


Difusion de la luz por un electron
Difusión de la luz por un electrón en un átomo es lo que explica la reflexión parcial de la luz


En el caso de la reflexión parcial por dos superficies la luz no se ve afectada en realidad por las superficies. Un fotón incidente es difundido por los electrones de los átomos de cristal, y es un nuevo fotón el que vuelve al detector. En lugar de sumar los miles de millones de flechitas correspondientes a la probabilidad de que cada electrón del cristal difunda un fotón incidente, únicamente sumamos dos: una para la superficie frontal y otra para la superficie posterior.

Comenzamos el nuevo análisis de la reflexión parcial dividiendo una lámina de cristal en 6 secciones y considerando los distintos caminos que pueden llevar la luz desde la fuente hasta el cristal y a su vuelta al detector en A. Los puntos donde la amplitud de difusión de la luz no se anulan están situados en el centro de cada sección. Para cada uno de los caminos hay cuatro pasos en sucesión, por lo que se deben multiplicar cuatro flechas:

1) El fotón abandona la fuente en un determinado tiempo (el apropiado para que la luz sea monocromática). Este tiempo determina la dirección de la flecha asociada al fotón para un camino dado y no varía durante su propagación de un punto a otro.
2) El fotón va desde la fuente hasta uno de los puntos del cristal.
3) Un electrón en uno de los puntos difunde un fotón.
4) Un nuevo fotón va al detector y llega en el tiempo acordado T.


La reflexión de la luz por dos superficies es causada por la difusión de la luz por los electrones



Las amplitudes para los pasos 2, 3 y 4 son las mismas para los 6 caminos, pero para el paso 1 son diferentes: un fotón difundido a más profundidad debe salir antes de la fuente (su camino es más largo).

La flecha asociada a cada camino es más corta que la del fotón justo al abandonar la fuente y ambas son giradas 90° de acuerdo con la difusión de los electrones en el cristal. Cuando las seis flechas se suman en orden, forman un arco; la flecha final es su cuerda. 

La longitud de la flecha final aumenta con el espesor del cristal (más secciones y más flechas) hasta que se alcanza un semicírculo y la flecha final es el diámetro (valor máximo). Si sigue aumentando el espesor del cristal la flecha decrece y el círculo llega a completarse (flecha nula) para iniciar un nuevo ciclo. El cuadrado de esa longitud es la probabilidad del suceso y varía entre el 0 y el 16%.

La misma flecha final puede obtenerse dibujando dos flechas radio y restándolas (girando la de la superficie frontal y sumándole la de la superficie posterior). Cada flecha radio vale 0,2 y viene determinada en último lugar por la amplitud S de que un electrón en un átomo de cristal difunda al fotón. Para substancias sencillas este cálculo puede realizarse usando las fórmulas de las tres acciones básicas para la multitud de fotones involucrados y sumando las amplitudes. Para el caso de un cristal el cálculo es tan complicado que debe determinarse experimentalmente.

Realmente la reflexión parcial es la difusión de la luz por los electrones del interior del cristal.




Transmisión de la luz por una lámina de cristal


Y ahora, ¿Qué ocurre con la luz que atraviesa la lámina del cristal? La mayor amplitud para la luz transmitida hacia el detector en B proviene de la zona que representa la no difusión de los electrones en el interior del cristal. A esta flecha sumamos otras 6 que representan la difusión de la luz por cada una de las secciones. Estas seis flechas tienen la misma longitud (porque la amplitud de difusión es la misma para cualquier parte del cristal) y señalan en la misma dirección (porque la longitud de cada camino desde la fuente hasta el punto B pasando por cualquier punto X es la misma. 

Una vez sumadas las flechas pequeñas a la grande, encontramos que la flecha final para la transmisión de la luz está más girada de lo que hubiésemos esperado si la luz hubiese incidido directamente. Cuanto más grueso es el cristal, menos flechas secundarias existen, y más girada es encuentra la flecha final. Por esta razón parece que la luz tarda más en atravesar el cristal que el aire o el vacío. En realidad la lentitud de la luz se debe al giro extra causado por los átomos del material difundiendo la luz. La cantidad de giro de la flecha final causada por los electrones de un material se denomina índice de refracción.

Pero la Naturaleza siempre ha funcionado de manera que nunca obtendremos más luz de la que incide.


Para materiales parcialmente opacos las flechas pequeñas señalan hacia la flecha principal, resultando en una flecha final mucho más corta de lo esperado y una probabilidad de transmisión menor por estos materiales.


Ejemplos de la diversidad de fenomenos explicados aplicando las tres acciones básicas


Fotones que van de un sitio a otro

¿Cuál es la probabilidad de que dos fotones en 1 y 2 vayan a los detectores en 3 y 4?

P(1 a 3)xP(2 a 4) + P(1 a 4)xP(2 a 3)

Existe interferencia con lo que la flecha final varía de longitud en función de la situación relativa de los puntos en el espacio-tiempo. Pero, ¿qué ocurre si 3 y 4 son el mismo punto?

P(1 a 3)xP(2 a 3) + P(1 a 3)xP(2 a 3)

Esto da dos flechas idénticas con lo que no hay interferencia y la probabilidad no fluctúa.

Los fotones tienden a tener la misma condición o estado. La posibilidad de que un átomo emita un fotón se ve reforzada si ya están presentes algunos fotones en un estado en que el átomo los pueda emitir. Este fenómeno de emisión estimulada es la base del funcionamiento del láser.


Electrones que van de un sitio a otro

Considerando electrones igualmente polarizados, con el mismo espín, las dos flechas serían:

E(1 a 3)xE(2 a 4) + E(1 a 4)xE(2 a 3)


Pero en la realidad se restan debido a la polarización de los electrones. Cuando los puntos 3 y 4 son el mismo ambas flechas se cancelan resultando en una probabilidad nula. Esto se conoce como el principio de exclusión de Pauli y es el responsable de la gran variedad de átomos en el universo.

Si los electrones no estuvieran polarizados todos los átomos tendrían propiedades muy parecidas: estos se agruparían próximos al núcleo y no serian atraidos fácilmente por otros átomos para producir electricidad o reacciones químicas.

El principio de exclusión y la repetición sucesiva de las tres acciones básicas explican la gran variedad de propiedades de los materiales (metales, aislantes, gases, dureza etc). Aun así el intercambio de fotones o absorción y emisiones de estos por electrones son tantos que tenemos que definir conceptos como índice de refracción o valencia para simplicar los cálculos obteniendo resultados aproximados.


Momento magnético del electrón


Cuando Dirac elaboró por primera vez las reglas para calcular el momento magnético del electrón (la respuesta de este a un campo magnético externo), utilizó la formula E(A a B) y obtuvo el valor 1. El diagrama de esta primera aproximación es el de un electrón que va de un lugar a otro del espacio-tiempo y se acopla con un fotón de un imán



Diagrama de Feynman de una primera aproximación para calcular el momento magnético del electrón



Años más tarde se descubrió que estelvalor era algo superior (1,00116). Esta corrección fue calculada por primera vez en 1948 por Schwinger como jxj dividido entre 2π, y se debía a un camino alternativo por el que el electrón podía ir de un sitio a otro (emitiendo y absorbiendo su propio fotón).



Camino alternativo por el que el electrón puede ir de un sitio a otro que debe considerarse para obtener una mejor aproximación del momento magnético de un electrón



Para determinar la flecha de esta alternativa, tenemos que construir una flecha para cada punto del espacio-tiempo en donde se puede emitir el fotón y para cada punto donde puede ser absorbido. Así que habrá dos extras E(A a B), un P(A a B) y dos j extra todos multiplicándose entre sí. Como esta alternativa es experimentalmente indistinguible del camino original las flechas de las dos alternativas se suman, y no existe interferencia.

Los experimentos de laboratorio han logrado tal precisión que se deben calcular más alternativas, involucrando cuatro acoplamientos extra (sobre todos los puntos intermedios posibles del espacio-tiempo). Hay tres caminos por los que el electrón puede emitir y absorber dos fotones. También hay una nueva posibilidad: se emite un fotón que forma un par positrón-electrón que se aniquilan creando un nuevo fotón que es absorbido finalmente por el electrón.

La siguiente contribución a la amplitud, que representa todas las posibilidades con seis acoplamientos extra, implica del orden de 70 diagramas. En 1983, el valor teórico era 1,00115965246. El valor experimental era 1,00115965221.


4. Cabos sueltos


Esta conferencia está dividida en dos partes:




  • Problemas de la electrodinámica cuántica.
  • Relación de la electrodinámica cuántica con el resto de la física.

Problemas de la electrodinámica cuántica


  • Mejora de los métodos de cálculo de la suma de flechas para igualar la precisión creciente de los experimentos.
  • Explicación del valor e=-0,08542455 (α=e-2) con α la constante de estructura fina. Nadie sabe de donde procede. Es uno de los misterios más grandes de la física.
  • La aparición de infinitos al hacer cálculos precisos solucionado con el proceso de renormalización.

Renormalización


Existe un problema que llevó veinte años resolverlo y está relacionado con los electrones y fotones idealizados y los números n y j.


Si los electrones fuesen ideales y se movieran de un punto a otro del espacio-tiempo por el camino directo (sin interaccionar con su propio campo) no habría problema: n sería la masa de un electrón (determinable por observación) y j simplemente su carga (la amplitud de acoplamiento de un electrón y de un fotón (también puede determinarse experimentalmente). 


Pero esos electrones ideales no existen porque estos interaccionan continuamente con su propio campo emitiendo y absorbiendo fotones. La masa que observamos en el laboratorio es la de un electrón real y por tanto depende de como interacciona con este campo, es decir de la amplitud de acoplamiento j (m depende de j).


A su vez la carga que observamos e está entre la de un electrón real y la de un fotón real (este último puede formar un par electrón-positrón) dependiendo por tanto de E(A a B), que involucra a n (e depende de n). Puesto que la masa y carga de un electrón es afectada por estas y otras alternativas, la masa experimental m y la carga experimental e son diferentes de n y j (un ejemplo de este hecho es el efecto Lamb).


Si existiera una relación matemática entre n y j por un lado y m y e por otro tampoco habría problema: calcularíamos los valores de n y j para empezar, a fin de terminar con los valores observados, m y e. (Si nuestros cálculos no concordasen con m y e, modificaríamos los valores iniciales de n y j hasta que lo hiciesen).


Cálculo de m


Debemos sumar una serie de términos análoga a la usada para el cálculo del momento magnético del electrón incluyendo el camino directo (sin acoplamiento), el termino con dos acoplamientos, con cuatro, seis, ocho acoplamientos y así sucesivamente. Y se deben considerar para cada término todos los puntos del espacio-tiempo en que pueden tener lugar incluyendo el caso de que ambos puntos se superpongan. Pero cuando la distancia es cero aparecen los infinitos. Sin embargo aunque la consistencia matemática lo exige, ni n ni j tienen sentido para distancias de acoplamiento nulas. 


Si se detienen los cálculos cuando la distancia entre los puntos de acoplamiento es muy pequeña (10-16cm) existen entonces unos valores n y j que se pueden usar de manera que la masa calculada coincida con la masa m observada en los experimentos y la carga calculada concuerde con la carga observada e. Pero si alguien hace los cálculos deteniéndose a una distancia diferente (10-40cm) los valores de n y j son diferentes.


Veinte años después, en 1949, Hans Bethe y Víctor Weisskopf notaron que mientras m y e fueran los mismos, si paraban los calculos de n y j a distancias diferentes, cuando incluían todas las flechas de todos los términos las respuestas eran más similares cuanto menor era la distancia a la que detenían los cálculos. Schwinger, Tomonaga y Feynman idearon formas de hacer cálculos definidos para comprobar que esto era verdad.


Por tanto parece que las únicas cosas que dependen de las pequeñas distancias entre los puntos de acoplamiento son los valores de n y j (números teóricos que no son observables directamente de ninguna manera). Todo lo demás, lo que puede ser observado, parece no verse afectado. El juego de capas que utilizamos para encontrar n y j se llama renormalización.



Relación de la electrodinámica cuántica con el resto de la física 


La teoría cuántica tiene tres tipos principales de interacciones:



  • Las interacciones fuertes de quarks y gluones explicadas por la cromodinámica cuántica.
  • Las interacciones débiles de los W± y Z°.
  • Las interacciones electromagnéticas de los fotones.


Las interacciones débiles y electromagnéticas son explicadas por la teoría electrodébil formulada por Steven Weinberg, Abdus Salam y Sheldon Glashow. El modelo estándar de partículas elementales explica conjuntamente las tres interacciones pero sin unificarlas en una teoría que todavía no se ha descubierto. Tanto la electrodinámica cuántica,  la cromodinámica cuántica, la teoría electrodébil y el modelo estándar son teorías cuánticas de campos.


Las únicas partículas del mundo siguiendo este esquema se organizan en tres familias cada una con dos quarks de tres colores cada uno, un tipo de electrón (electrón, muón y tau) y un neutrino (electrónico, muónico y tau). El por qué existen tres familias y no más o menos es otro de los grandes misterios de la física. Además tenemos ocho tipos de gluones combinaciones de tres colores R, G y B, los bosones débiles (W- es la antipartícula de W+) y Z° (responsables de las corrientes débiles neutras) y los fotones. Como Z° y los fotones no tienen carga, sus partículas son ellas mismas.







Particulas elementales del Modelo Estandar
Las partículas elementales del Modelo Estándar se agrupan en 3 familias. En esta imagen cada familia corresponde a las partículas de las primeras dos columnas de la izquierda, las dos columnas centrales y las dos columnas de la derecha


Todas las propiedades del muón se pueden describir completamente por la teoría de la electrodinámica cuántica al ser un tipo de electrón (la constante de acoplamiento j es la misma y E(A a B) también), solo cambia el valor de n asociado a la masa. Puesto que esta es 200 veces mayor que la del electrón, la manecilla de su cronógrafo gira 200 veces más rápido. Esto ha permitido comprobar esta teoría con más precisión aún, hasta distancias 200 veces más pequeñas.

Las partículas formadas por quarks se llaman hadrones. Si están compuestas por tres quarks se llaman bariones y si las forman dos quarks (par quark-antiquark)  se llaman mesones. Solo existen estas posibilidades porque los hadrones tienen que ser de color blanco o neutro (combinación RGB o color-anticolor). Esta propiedad se llama confinamiento e impide que los quarks existan libremente. Esto también ocurre debido a la propiedad de libertad asintótica de la fuerza nuclear fuerte, que hace que esta aumente con la distancia y se anule a distancias tendiendo a cero.







Particulas formadas por quarks
Los hadrones son partículas formadas por quarks como los bariones (tres quarks) y los mesones (un quark y un antiquark)




Los gluones, bosones débiles y fotones tienen todos espín 1. Los gluones no tienen masa igual que los fotones, pero los bosones débiles W± y Z° tienen masas elevadas. El origen de esta masa sería una ruptura espontánea de simetría del campo de Higgs, cuya partícula asociada, el bosón de Higgs, proporcionaría la masa a las partículas al interaccionar con ellas.



Potencial del Campo de Higgs
A la izquierda el potencial de Higgs es nulo cuando el campo de Higgs también lo es. Sin embargo a la derecha se rompe esta simetría y el potencial es diferente de cero cuando el campo de Higgs es nulo 



Aunque el gluón y el fotón tienen ambos masa nula y espín 1, los diferencia el hecho de que los gluones pueden interactuar entre sí pero los fotones no. Los fotones no tienen carga pero los gluones tienen carga de  color con la que interactúan entre ellos y con los quarks. Este hecho y una constante de acoplamiento no pequeña hace que la teoría de aproximaciones sucesivas que funciona en la electrodinámica cuántica no funcione en la cromodinámica cuántica, haciendo los cálculos más complejos.


Los cambios de sabor que implica, por ejemplo, la radiación beta no pueden explicarse por la electrodinámica cuántica ni por la cromodinámica cuántica. Es necesaria la fuerza nuclear débil mediante la interacción de un bosón W con un quark.





Desintegración beta
La fuerza nuclear débil es la responsable de la desintegración beta en la que un neutrón se transforma en un protón más un electrón más un antineutrino



Diagrama de Feynman de la desintegracion beta
Diagrama de Feynman de la desintegración beta en la que un bosón W se lleva una unidad negativa de carga y se acaba desintegrando en un electrón y un antineutrino.





Con la inclusión del campo de Higgs todas las partículas tienen masa nula salvo el bosón de Higgs, cuya masa es la única que aparece en el modelo estándar. Todas las demás partículas adquieren una masa proporcional al bosón de Higgs mediante el mecanismo de ruptura espontánea de la simetría electrodébil





La gravedad


A lo largo de estas conferencias Feynman no discute la gravitación debido a que su influencia entre objetos es extremadamente pequeña: es una fuerza 10-40 veces más débil que la fuerza electromagnética. Pero como la gravedad siempre es atractiva, los efectos de esta fuerza son evidentes para nosotros.


Debido a esta debilidad aún no se han podido hacer experimentos para medir cualquier efecto que requiera la precisión de una teoría cuántica de la gravitación para explicarlo. Aún así existen teorías cuánticas de la gravedad que implican gravitones de espín 2 y otras nuevas partículas (supersimétricas) de espín 3/2.


Las teorías cuánticas de la gravedad también tienen infinitos en los términos de acoplamiento que en este caso no  son renormalizables.


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Conclusiones





En la primera conferencia se explica que la luz parece formada por un flujo de partículas. También se analiza el caso de la reflexión parcial de la luz monocromática. Una media del 4% de los fotones que inciden sobre una única superficie de cristal se reflejarán. Pero no podemos saber cuáles se reflejarán, sino solo la probabilidad de que lo hagan.

Con una segunda superficie, en lugar del esperado 8% de reflexión por las dos superficies, la reflexión parcial puede elevarse hasta un 16% o desaparecer, dependiendo del espesor del cristal debido a un fenómeno de interferencia.

En la segunda conferencia el autor muestra cómo el proceso de combinar flechas explica por qué la luz viaja en línea recta, se refleja en un espejo con el mismo angulo de incidencia, cambia de velocidad al cambiar de medio (refracción de la luz) o por qué las lentes focalizan la luz.

En la tercera conferencia Feynman explica por qué la luz parece ir más lenta a través del cristal o del agua que a través del aire. Los fotones en realidad no se reflejan en la superficie del cristal; interaccionan con los electrones dentro del cristal. La reflexión y la transmisión son realmente el resultado de que un electrón se apodere de un fotón y emita un nuevo fotón, es decir, de la difusión de la luz por un electrón.

La electrodinámica cuántica es en parte contraria al sentido común. Debemos aceptar comportamientos algo peculiares: 


  • Amplificación y supresión de probabilidades
  • la luz reflejandose en todas las partes del espejo.
  • La luz viajando por caminos diferentes a la línea recta.
  • Fotones viajando a velocidad diferente de c.
  • Electrones retrocediendo en el tiempo.
  • Los fotones desintegrándose en pares electrón-positrón, etc.


Detrás de tantos fenómenos cotidianos solo hay tres acciones básicas: una se describe por el sencillo número de acoplamiento j; las otras dos por las funciones P(A a B) y E(A a B) ambas íntimamente relacionadas. De aquí surgen todas las demás leyes de la física.


La última conferencia trata de los problemas de la electrodinámica cuántica, entre ellos el de los infinitos solucionado con la renormalización, y de la relación de esta teoría con el resto de la física.


Es un libro apto para casi todo el mundo sin necesidad de estudios de física o matemáticas y, sin embargo, el autor Richard Feynman es capaz de explicar de manera muy didáctica los conceptos fundamentales de una teoría tan compleja como la electrodinámica cuántica. Por ello este es uno de los mejores libros de divulgación científica que he leído.